Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=$\frac{1}{2}$S_n+1（n∈N^*）；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$，求证数列{c_n}的前n项和为T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=log₂a_n=n．c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵满足a_n=$\frac{1}{2}$S_n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}$+1，解得a₁=2．
当n≥2时，${a}_{n-1}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}$+1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$，化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）证明：b_n=log₂a_n=n．
c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．