Question

9．讨论函数f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}-1}$（a≠0）在-1＜x＜1上的单调性．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，作差，通分以及提取公因式便可得到f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$，这样能够判断出$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}＞0$，从而讨论a的符号便可判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，从而判断出函数f（x）在（-1，1）上的单调性．

解答 解：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-1}-\frac{a{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{a{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}-a{x}_{1}-a{x}_{2}{{x}_{1}}^{2}+a{x}_{2}}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$=$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₂-x₁＞0，-1＜x₁x₂＜1，x₁x₂+1＞0，${{x}_{1}}^{2}-1＜0，{{x}_{2}}^{2}-1＜0$；
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}＞0$；
∴①若a＞0，则f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
②若a＜0，则f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评 考查函数单调性的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后为分式的一般要通分，并一般都要提取公因式x₁-x₂或x₂-x₁，不等式性质的运用．