Question

19．已知圆M：x²+y²+4x-2y+3=0，直线l过点P（-3，0），圆M的圆心坐标是（-2，1）；若直线l与圆M相切，则切线在y轴上的截距是-3；若直线l与圆M相交，则截得的最长弦长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程，可得线在y轴上的截距．

解答 解：圆的标准方程为（x+2）²+（y-1）²=2，
则圆心坐标为（-2，1），半径R=$\sqrt{2}$，
设切线斜率为k，过P的切线方程为y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
平方得k²+2k+1=（k+1）²=0，
解得k=-1，
此时切线方程为y=-x-3，即在y轴上的截距为-3，
直线l与圆M相交，则截得的最长弦长为直径2$\sqrt{2}$．
故答案为：（-2，1）；-3；2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程的应用以及直线和圆相切的位置关系的应用，比较基础．