Question

7．记定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x₀∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（x₀）（b-a）成立，则称x₀为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x+lnx在区间[e，e²]上的“中值点”为e²-2．

Answer 1

分析 根据题意，对f（x）求导数，代入新定义公式，求出中值点．

解答 解：∵f（x）=x+lnx，
∴f′（x）=1+$\frac{1}{x}$，
设x₀为f（x）在区间[e，e²]上的“中值点”，
∴f（e²）-f（e）=f′（x₀）（e²-e），
∴e²+2-e-1=f′（x₀）（e²-e），
∴f′（x₀）=1+$\frac{1}{{e}^{2}-e}$
∴1+$\frac{1}{{x}_{0}}$=1+$\frac{1}{{e}^{2}-e}$
∴x₀=e²-e，
故答案为：e²-e．

点评 本题考查了新定义函数的导数以及对新定义的理解、分析和计算能力，是基础题．