Question

9．求函数y=-2cos²x-2sinx+3的值域．

Answer 1

分析 首先，根据同角三角函数基本关系式，化简函数解析式，然后，利用换元法，转化成二次函数的最值问题进行求解．

解答 解：函数y=-2cos²x-2sinx+3
=-2（1-sin²x）-2sinx+3
=2sin²x-2sinx+1
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴y=2t²-2t+1=2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
∴当t=$\frac{1}{2}$时，取得最小值为$\frac{1}{2}$；
当t=-1时，取得最大值为5，
∴值域为[$\frac{1}{2}$，5]．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、二次函数的最值问题、换元法在求解值域中的应用，属于中档题．