Question

14．已知x∈[2，3]，求函数f（x）=$\frac{1-x+\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}}{2x}$的值域．

Answer 1

分析 将函数f（x）进行化简，利用换元法进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1-x+\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}}{2x}$=$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2x}$+$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}}{2x}$
=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{2{x}^{2}-2x+1}{4{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{1}{4{x}^{2}}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}}$，
令t=$\frac{1}{2x}$，则t∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]，
则f（x）=g（t）=t-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{t}^{2}-t+\frac{1}{2}}$，
则g′（t）=1-$\frac{2t-1}{2\sqrt{{t}^{2}-t+\frac{1}{2}}}$．
∵t∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]，
∴2t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
2t-1∈[$-\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$]，
则-（2t-1）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
则g′（t）=1-$\frac{2t-1}{2\sqrt{{t}^{2}-t+\frac{1}{2}}}$＞0，
则g（t）在t∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]上为增函数，
则g（$\frac{1}{6}$）≤g（t）≤g（$\frac{1}{4}$），
即$\frac{\sqrt{13}-2}{6}$≤g（t）≤$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即函数的值域为[$\frac{\sqrt{13}-2}{6}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法进行转化是解决本题的关键．