Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2cos²（A+B）=2cosC+cos2C．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为S=4

3

（3），求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用cos（A+B）=cosC，代入题设等式，进而利用二倍角公式化简整理求得cosC的值，进而求得C．
（2）先根据三角形面积公式求得ab的值，进而利用均值不等式求得a+b的最小值．

解答：解：（1）∵2cos²（A+B）=2cosC+cos2C
∴2cos²C=2cosC+cos2C
∴cos2C+1=2cosC+cos2C
∴cosC=

1

2

∴C=

π

3

（2）∵S=

1

2

absinC
∴4

3

=

1

2

ab

3

2

∴ab=16
又∵a＞0，b＞0
∴a+b≥2

ab

∴a+b≥8
当且仅当a=b=4时，等号成立
∴a+b的最小值为8

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用和基本不等式的应用．在应用均值不等式时要注意等号成立的条件．