Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=8，S₄=40．数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an，n为奇数 bn，n为偶数

，求数列{c_n}的前2n+1项和P_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a_n，运用n=1时，b₁=T₁，n＞1时，b_n=T_n-T_n-1，求出b_n；
（Ⅱ）写出c_n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意，得

a1+d=8 4a1+6d=40

，解得

a1=4 d=4

，
∴a_n=4n；
∵T_n-2b_n+3=0，∴当n≥2时，T_n-1-2b_n-1+3=0，
两式相减，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
又当n=1时，b₁=3，
则数列{b_n}为等比数列，
∴bn=3•2n-1；                  
（Ⅱ）cn=

4n      n为奇数 3•2n-1  n为偶数

∴P_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

4+4(2n+1)

2

•(n+1)+

6(1-4n)

1-4

=2²ⁿ⁺¹+4n²+8n+2．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项与前n项和公式，考查方程在数列中的运用，考查数列的求和方法：分组求和，必须掌握．