Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）把函数解析式提取

2

后利用两角和的正弦化积，然后直接取x=

π

12

求得f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx-sinx，化积后利用余弦型复合函数的单调性求函数g（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f(

π

12

)=

2

sin(

π

12

+

π

4

)=

2

sin

π

3

=

6

2

；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)，
由2kπ+π＜x+

π

4

＜2kπ+2π，得2kπ+

3π

4

＜x＜2kπ+

7π

4

，
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)，k∈Z．
又由2kπ＜x+

π

4

＜2kπ+π，得2kπ-

π

4

＜x＜2kπ+

3π

4

，
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)，k∈Z．

点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．是中档题．