Question

4．已知f（x）=2+acos x（a≠0）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数的最小正周期．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），可得函数f（x）=2+acos x为偶函数．
（2）分a＞0、a＜0两种情况，分别利用余弦函数的单调性得到函数f（x）的单调区间．
（3）利用周期函数的定义、余弦函数的周期性得出结论．

解答 解：（1）因为f（x）=2+acos x（a≠0）的定义域为R，且f（-x）=f（x），
所以函数f（x）=2+acos x为偶函数．
（2）因为f（x）=cos x在[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）上是单调递增的，在[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）上是减少的．
所以当a＞0时，f（x）=2+acos x的递增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z，递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．
当a＜0时，f（x）=2+acos x的递增区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，递减区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z．
（3）由f（x+2π）=f（x），且不存在0＜T＜2π，使f（x+T）=f（x）成立，
故f（x）=2+acos x的最小正周期为2π．

点评 本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．