Question

若函数f（x）=xlnx-a有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[0，

  1

  e

  ]
• B、（-

  1

  e

  ，

  1

  e

  ）
• C、（0，

  1

  e

  ]
• D、（-

  1

  e

  ，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据函数零点的定义，由f（x）=xlnx-a=0得xlnx=a，设函数g（x）=xlnx，利用导数研究函数的极值即可得到结论．

解答： 解：函数的定义域为（0，+∞），
由f（x）=xlnx-a=0得xlnx=a，
设g（x）=xlnx，
则g′（x）=lnx+1，
由g′（x）=lnx+1＞0得x＞

1

e

，此时函数单调递增，
由g′（x）=lnx+1＜0得0＜x＜

1

e

，此时函数单调递减，
即当x=

1

e

时，函数g（x）取得极小值g（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
当x→0时，g（x）→0，
∴要使函数f（x）=xlnx-a有两个零点，即方程xlnx=a有两个不同的根，
即函数g（x）和y=a有两个不同的交点，
则-

1

e

＜a＜0，
故选：D

点评：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．