Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁（-2，0）、右焦点F₂（2，0）分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为16

3

．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF₂为半径的圆交射线PF₁于M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）由

x=2 y= b a x

，解得y=

2b

a

，
由双曲线及其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形，故四边形ABCD的面积为4×

4b

a

=16

3

所以b=

3

a，结合c=2且c²=a²+b²得：a=1，b=

3

，
所以双曲线C的标准方程为x2-

y2

3

=1；
（2）P是双曲线C上一动点，故|PF₁-PF₂|=2，
又M点在射线PF₁上，且PM=PF₂，
故F₁M=|PF₁-PM|=|PF₁-PF₂|=2，
所以点M的轨迹是在以F₁为圆心，半径为2的圆，
其轨迹方程为：（x+2）²+y²=4．