Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OAC；
（2）求点A到平面OBD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明直线BD垂直平面OAC内的两条相交直线AC与OA，即可证明直线BD⊥平面OAC；
（2）设出点A到平面OBD的距离，利用等体积方法直径求出A到平面OBD的距离．

解答： 解：（1）证明：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵OA⊥底面ABCD，
BD?平面ABCD，∴OA⊥BD，AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC．…（5分）
（2）设点A到平面OBD的距离为h
S_△ABD=

1

2

×AB×AD=

1

2

，S_△OBD=

1

2

×

2

×

3

2

=

3

2

．
由V_A-OBD=V_O-ABD得

1

3

S_△OBD×h=

1

3

S_△ABD×OA⇒h=

2

3

所以点A到平面OBD的距离为

2

3

…（12分）

点评：本题考查点到平面的距离的求法，直线与平面垂直的判断与证明，考查空间想象能力以及计算能力．