Question

20．设关于x的方程9^x-3^x+1+6-15k=0在[0，2]内有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 设t=3^x，将方程转化为一元二次方程，结合一元二次方程和一元二次函数的关系，构造一元二次函数，求出一元二次函数的最值进行求解即可．

解答 解：t=3^x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤9，
则方程等价为t²-3t+6-15k=0在[1，9]内有解，
即t²-3t+6=15k在[1，9]内有解，
设f（t）=t²-3t+6，则对称轴为t=$\frac{3}{2}$，
∴函数的最小值为f（$\frac{3}{2}$）=（$\frac{3}{2}$）²-3×$\frac{3}{2}$+6=$\frac{15}{4}$，
函数的最大值为f（9）=9²-3×9+6=60，
即$\frac{15}{4}$≤f（t）≤60，
由$\frac{15}{4}$≤15k≤60，
得$\frac{1}{4}$≤k≤4，
即k的取值范围是[$\frac{1}{4}$，4]．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合构造法将条件转化为一元二次方程和一元二次函数是解决本题的关键．