Question

已知函数f（x）=x²-2ax+b在x=1处有极值2．
（1）求函数f（x）=x²-2ax+b在闭区间[0，3]上的最值；
（2）求曲线）y=x²-2ax+b，y=x+3所围成的图形的面积S．

Answer 1

分析：（1）因为函数f（x）=x²-2ax+b在x=1处有极值2，所以所以

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

，所以f（x）=x²-2x+3利用导数判断函数的单调性求函数的最值即可．
（2）求出一次函数与二次函数的交点横坐标x=0及x=3，利用积分公式求出面积s=

∫

3 0

[(x+3)-(x2-2x+3)]dx=

∫

3 0

(-x2+3x)dx=

9

2

．

解答：解：（1）由已知f′（x）=2x-2a
因为在x=1时有极值2，所以

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

解方程组得：

a=1 b=3

所以f（x）=x²-2x+3．
当x∈[0，1]时，f′（x）＜0所以f（x）单调递减
当x∈[1，3]时，f′（x）＞0所以f（x）单调递增且f（0）=3，f（1）=2，f（3）=6
所以f（x）的最大值为6，f（x）最小值为2
（2）由

y=x+3 y=x2-2x+3

解得x=0及x=3．
从而所求图形的面积s=

∫

3 0

[(x+3)-(x2-2x+3)]dx=

∫

3 0

(-x2+3x)dx=

9

2

．

点评：函数的极值与最值问题，是基本初等函数中很主要的两个性质，运用导数作为工具是解决这类问题的关键，正确理解定积分的几何意义合理确定积分上限下限和被积函数是解决此类问题的关键．