Question

(本小题14分)已知函数f(x)=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f(1)=2,f(2)＝10

（1）确定函数的解析式;（2）用定义证明在R上是增函数；

（3）若关于x的不等式f(x²－4)+f(kx+2k)<0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（2）证明：设x₁,x₂是R上的任意两个不相等的实数，且x₁<x₂, 则

       

∴函数f(x)在R上是增函数。……………………………………………………………..10

（3）∵f(x²－4)+f(kx+2k)<0     ∴f(x²－4)<－f(kx+2k)＝f(－kx－2k)

     又因为f(x)是增函数，即x²－4<－kx－2k

∴x²+kx+2k－4<0在（0，1）上恒成立               ………………………………..12

     法（一）令g(x) =x²+kx+2k－4   x∈（0，1）

             ∴k的取值范围是（－∞，1] ……………14

法（二）上式可化为k(x+2)<4－x²  ∵x∈（0，1） 即x+2>0    ∴

    令 U(x)=2-x  x∈（0，1）  ∵U(x)=2-x在（0，1）上是减函数 ∴U(x)<1   即k≤1 …..14

 

【解析】略