Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2），，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）.

【解析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）先利用判别式，整理得，成立，，两次求导可得，由此，从而可得结果.

（1）因为，

所以.

①当时，恒成立，所以函数在上单调递增.

②当时，由，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上所述，

当时，函数在上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）由得，

，

整理得，

由题意得“，，总有成立”等价于“，，恒成立”.

所以，

方法一：整理得，成立.

令，

则.

令，则，

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递减，

所以，

所以当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递减，

所以，

所以，

即.

故实数的取值范围为.

方法二：整理得，

令，则，

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递减，

所以，

所以

即，

故实数的取值范围为.