Question

14．关于x的方程cos²x+sinx+a=0在0＜x≤$\frac{π}{2}$上有解，则a的取值范围是[-$\frac{5}{4}$，-1]．

Answer 1

分析 令sinx=t，则t∈（0，1]，故-t²+t+1+a=0在（0，1]上有解，再利用二次函数的性质，求得a的取值范围．

解答 解：关于x的方程cos²x+sinx+a=0在0＜x≤$\frac{π}{2}$上有解，即关于x的方程1-sin²+sinx+a=0在0＜x≤$\frac{π}{2}$上有解．
令sinx=t，则t∈（0，1]，故-t²+t+1+a=0在（0，1]上有解，
∴△=1+4（1+a）≥0，t₁+t₂=1，t₁•t₂=-1-a∈[0，1]，求得-$\frac{5}{4}$≤a≤-1，
故答案为：$[-\frac{5}{4}，-1]$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．