Question

已知函数f（x）=x|x+2|-2x-1
（1）用分段函数的形式表示该函数；     
（2）画出该函数的图象；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x|x+2|-2x-1，知当x≥-2时，f（x）=x（x+2）-2x-1=x²-1，当x＜-2时，f（x）=x（-x-2）-2x-1=-x²-4x-1，由此能求出f（x）．．
（2）由f（x）=

x2-1，x≥-2 -x2-4x-1，x＜-2

，知x=-2时，y=3；x=0时，y=-1；x=±1时，y=1．由此利用抛物线的对称性能求出f（x）的图象．
（3）由x²-1=0，得x=±1；由-x²-4x-1=0，得x=-2±

3

．结合图象，能求出不等式f（x）＞0的解集．

解答：解：（1）∵f（x）=x|x+2|-2x-1，
∴当x≥-2时，f（x）=x（x+2）-2x-1=x²-1，
当x＜-2时，f（x）=x（-x-2）-2x-1=-x²-4x-1，
∴f（x）=

x2-1，x≥-2 -x2-4x-1，x＜-2

．
（2）由f（x）=

x2-1，x≥-2 -x2-4x-1，x＜-2

，
知x=-2时，y=3；x=0时，y=-1；x=±1时，y=1．
由此利用抛物线的对称性能求出f（x）的图象．

（3）由x²-1=0，得x=±1；
由-x²-4x-1=0，得x=-2±

3

．
∴结合图象，知不等式f（x）＞0的解集为（-2-

3

，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数图象的作法，考查不等式的解法．解题时要认真审题，仔细解答．