Question

（本题满分12分）
如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

解法一：以为原点，直线为轴，

建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为，
∴，
故边缘线的方程为. ……4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线的的方程可表示为，即，…………6分
由此可求得，.
∴，，…8分
设梯形的面积为，则

. ……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为. 此时.………11分
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.   ………………………………………………………………………12分
解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为，
∴， 
故边缘线的方程
为. ………4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线的的方程可表示为，即，…6分
由此可求得，.
∴，，……………7分
设梯形的面积为，则

. ……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为. 此时.………11分
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.   ………………………………………………………………………12分

略