Question

【题目】已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）方法一：设椭圆方程，由2c＝4，则c＝2，求得焦点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得a的值，求得b的值，求得椭圆方程；方法二：将M点坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程x＝my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程．

（1）方法一：设椭圆的标准方程：（a＞b＞0），2c＝4，c＝2，

则焦点坐标为F1（2,0），F2（-2,0），

则|PF1|+|PF2|＝2a，则22a，则a，

b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，

∴椭圆的标准方程：；

方法二：设椭圆的标准方程：（a＞b＞0），2c＝4，c＝2，b2＝a2﹣c2＝a2﹣4，

将M.代入椭圆方程：．解得：a2＝6，b2＝2，

∴椭圆的标准方程：；

（2））当直线l的斜率为0时，不合题意．

当直线l的斜率不为0，设直线l的方程x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：（m2+3）x2+2my﹣5＝0，y1+y2,，

由2，则（1，﹣）＝2（，），则＝﹣2，

则+＝﹣，则，由＝﹣22，则，则5，

解得：＝5，则＝±，

∴直线l的方程为：.．