Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=19，S_n=na_n+n（n-1），其中n=2，3，4，…
（1）求数列{a_n}的通项公式及S的最大值；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ （n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）由题意，∵S_n=na_n+n（n-1），
∴n≥3时，S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2），
两式相减可得a_n=[na_n+n（n-1）]-[（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2）]，
整理可得a_n-a_n-1=-2（n≥3）
当n=2时，S₂=2a₁+2，∵a₁=19，∴a₂=17，
∴数列{a_n}是以19为首项，-2为公差的等差数列
∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n
令a_n≥0，可得n≤10.5，∴n=10时，S_n取得最大值，最大值为100；
（2）b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
当n为偶数时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=（-2）×+=2ⁿ⁺¹-n-2
当n为奇数时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=-a₁+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）+
=-19+2×+2ⁿ⁺¹-2=2ⁿ⁺¹+n-22
∴T_n=
分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以19为首项，-2为公差的等差数列，从而可数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）首先利用诱导公式以及（1）求出数列{b_n}的通项公式，然后分类讨论，即可求数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．