Question

19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了5月1日至5月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日    期	5月1日	5月2日	5月3日	5月4日	5月5日
温差x（°C）	10	12	11	13	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$…（1）
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{{x}^{\;}}}^{2}}$…（2）
（1）从5月1日至5月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；
（2）根据5月2日至5月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

Answer 1

分析 （1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件共有C₅²种结果，满足条件的事件是事件“m，n均小于25”的只有1个，根据概率公式得到结果．
（2）先求出横标和纵标的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a的值，得到线性回归方程．
（3）根据第二问所求的线性回归方程，预报两个变量对应的y的值，与检验数据的误差是1，满足题意，被认为得到的线性回归方程是可靠的．

解答 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件共有C₅²=10种结果，
满足条件的事件是事件“m，n均小于25”的只有1个，
∴要求的概率是p=$\frac{1}{10}$．
（2）∵$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=27，
∴b=$\frac{11×25+13×30+12×26-3×12×27}{1{1}^{2}+1{3}^{2+}1{2}^{2}-3×1{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$
∴a=27-$\frac{5}{2}$×12=-3，
∴所求的线性回归方程是y=$\frac{5}{2}$x-3；
（3）当x=10时，y=22；当x=8时，y=17，
与检验数据的误差是1，满足题意，被认为得到的线性回归方程是可靠的．

点评 本题考查等可能事件的概率，考查求线性回归方程，并且用线性回归方程来预报y的值，从而得到预报值与检验数据的误差，得到线性回归方程是否可靠．