Question

8．等差数列{a_n}中，a₃=8，a₇=20，若数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{4}{25}$，则n的值为16．

Answer 1

分析 由等差数列通项公式列出方程组，求出a₁=2，d=3，从而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}$），进而得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}$），由此利用数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{4}{25}$，能求出n的值．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，a₃=8，a₇=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=8}\\{{a}_{7}={a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为：
S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}$），
∵数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{4}{25}$，∴$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{4}{25}$，
解得n=16．
故答案为：16．

点评 本题考查等差数列的项数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．