Question

20．已知函数f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由商的关系、两角差的余弦和正弦函数、二倍角公式及其变形化简解析式，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围求出$2x-\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的增区间求出答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
=4$\frac{sinx}{cosx}$•cosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}si{n}^{2}x$-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
所以f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]得，$2x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，则$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}]$，
由$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$得，$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$，
所以函数f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$．

点评 本题考查三角恒等变换中的公式，正弦函数的单调区间，以及三角函数的周期公式的应用，考查化简、变形能力．