Question

线段AB的中点O也是线段AB的重心，O具有以下性质：①O平分线段AB的长度；②

OA

+

OB

=

0

③O是直线AB上所有点中到线段AB两个端点的距离的平方和最小的点．由此推广到三角形，设△ABC的重心为G，我们得到如下猜想：
A．G平分△ABC的面积（即△GAB、△GBC、△GAC面积相等）；
B．

GA

+

GB

+

GC

=

0

C．G是平面ABC内所有点中到△ABC三边的距离的平方和最小的点；
D．G是平面ABC内所有点中到△ABC三个顶点的距离的平方和最小的点；
你认为正确的猜想有

 

（填上所有你认为正确的猜想的序号）．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,演绎推理的基本方法

专题：探究型

分析：对于A，根据三角形重心的定义，线段的端点到这条边的中线的距离相等；对于B，根据三角形重心的性质，设AB的中点为D，则

GA

+

GB

=2

GD

，根据

GC

=-2

GD

，可得

GA

+

GB

+

GC

=

0

；对于C，根据三角形重心的性质，G是重心时，G到△ABC三边的距离的平方和等于三条高的平方和的

1

9

；对于D，设三角形三个顶点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），平面上任意一点为（x，y），求出该点到三顶点距离平方和，利用配方法，故可得结论．

解答： 解：对于A，根据三角形重心的定义，线段的端点到这条边的中线的距离相等，即A，C到BG的距离相等，所以△GAB、△GBC同底等高，所以△GAB、△GBC面积相等，同理、△GBC、△GAC面积相等，故△GAB、△GBC、△GAC面积相等，即G平分△ABC的面积，所以A正确；
对于B，根据三角形重心的性质，设AB的中点为D，则

GA

+

GB

=2

GD

，∵

GC

=-2

GD

，∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，所以B正确；
对于C，根据三角形重心的性质，G是重心时，G到△ABC三边的距离的平方和等于三条高的平方和的

1

9

，所以正确；
对于D，设三角形三个顶点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为：（x₁-x）²+（y₁-y）²+（x₂-x）²+（y₂-y）²+（x₃-x）²+（y₃-y）²=3x²-2x（x₁+x₂+x₃）+3y²-2y（y₁+y₂+y₃）+x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²=3[x-

1

3

（x₁+x₂+x₃）]²+3[y-

1

3

（y₁+y₂+y₃）]²+x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²-

1

3

（x₁+x₂+x₃）²-

1

3

（y₁+y₂+y₃）²
显然当x=

1

3

（x₁+x₂+x₃），y=

1

3

（y₁+y₂+y₃）（重心坐标）时上式取得最小值为x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²-

1

3

（x₁+x₂+x₃）²-

1

3

（y₁+y₂+y₃）² ，所以D正确；
故答案为：ABCD

点评：本题考查类比思想，考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．