Question

7．设函数f（x）=x²-klnx，k＞0．
（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，2），求k的值．
（Ⅱ）若f（x）的最小值小于零，证明f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，求得切线方程，代入点（2，2），可得k=1；
（Ⅱ）由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间，进而得到f（x）的最小值，判断f（x）的单调性，求得f（1）＞0，f（$\sqrt{e}$）＜0，由零点存在定理，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²-klnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{k}{x}$，（x＞0，k＞0），
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2-k，
切点为（1，1），
则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=（2-k）（x-1），
切线过点（2，2），即有2-1=2-k，
解得k=1；
（Ⅱ）证明：由f′（x）＜0可得-$\sqrt{\frac{k}{2}}$＜x＜$\sqrt{\frac{k}{2}}$，又x＞0，可得0＜x＜$\sqrt{\frac{k}{2}}$，
由f′（x）＞0可得x＞$\sqrt{\frac{k}{2}}$，
即有f（x）在（0，$\sqrt{\frac{k}{2}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，+∞）递增，
即f（x）在x=$\sqrt{\frac{k}{2}}$处取得最小值，且为f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{\frac{k}{2}}$=$\frac{k}{2}$-$\frac{k}{2}$ln$\frac{k}{2}$，
由f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）＜0可得k＞2e，即为$\sqrt{\frac{k}{2}}$＞$\sqrt{e}$，
即f（x）在（0，$\sqrt{e}$]为减函数，
又f（1）=1＞0，f（$\sqrt{e}$）=e-kln$\sqrt{e}$=e-$\frac{k}{2}$＜0，
即f（1）f（$\sqrt{e}$）＜0，
则有f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用和函数的零点存在定理的运用，属于中档题．