Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a_m+a_m+1=a_k？说明理由；
（2）找出所有数列{a_n}和{b_n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，试确定所有的p，使数列{a_n}中存在某个连续p项的和是数列{b_n}中的一项，请证明。

Answer 1

解：（1）由，
整理后，可得，
∵m、k∈N*，
∴k-2m为整数，
∴不存在m、k∈N*，使等式成立。
（2）若，（*）
（ⅰ）若d=0，则，
当{a_n}为非零常数列，{b_n}为恒等于1的常数列，满足要求。
（ⅱ）若d≠0，（*）式等号左边取极限得，
（*）式等号右边的极限只有当q=1时，才能等于1。此时等号左边是常数，
∴d=0，矛盾。
综上所述，只有当{a_n}为非零常数列，{b_n}为恒等于1的常数列，满足要求。
（3），
设，
，
∴，
∵p、k∈N*，
∴，
取，
由二项展开式可得正整数M₁、M₂，使得（4-1）^2s+2=4M₁+1，
，
∴，
∴存在整数m满足要求；
故当且仅当p=3^s，s∈N时，命题成立。