Question

1．已知抛物线C₁：y²=-4x的准线经过抛物线C₂：y²=2px的焦点
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）点M，N分别在抛物线C₁，C₂上，且点M，N分别位于第三、第一象限．若抛物线C₂上存在一点Q，满足$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出抛物线C₁的准线方程和抛物线C₂的焦点，将焦点坐标带诶准线方程得出p，即可得出抛物线的方程；
（II）设M（-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），N（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），根据$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$求出Q的坐标，代入抛物线C₂的方程得出λ关于y₁，y₂的函数，利用基本不等式求出λ的范围．

解答 解：（I）抛物线C₁的准线方程为：x=1，
抛物线C₂的交点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
∴$\frac{p}{2}=1$，解得p=2．
∴抛物线C₂的方程为：y²=4x．
（II）设M（-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），N（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），（y₁＜0，y₂＞0）．
∵$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$，∴$λ\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂-y₁），
∴Q（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4λ}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{λ}$）．
∵Q在抛物线C₂：y²=4x上，
∴$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}{{λ}^{2}}=\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{λ}$，∴λ=$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=1-$\frac{2{y}_{1}{y}_{2}}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$．
∵y₁²+y₂²≥-2y₁y₂＞0，
∴0＜-$\frac{2{y}_{1}{y}_{2}}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$≤1．
∴1＜λ≤2．

点评 本题考查了抛物线的性质，向量的线性运算，基本不等式的应用，属于中档题．