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    已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
    23
    an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)    ，其中λ为实数，n为正整数．
    （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
    （Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
    （Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
    分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
    （2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．
    （3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．
    解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即(
    2
    3
    λ-3)2=λ(
    4
    9
    λ-4)?
    4
    9
    λ2-4λ+9=
    4
    9
    λ2-4λ?9=0    ，矛盾．
    所以{an}不是等比数列．
    （Ⅱ）解：因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（
    2
    3
    an-2n+14）
    =
    2
    3
    （-1）n•（an-3n+21）=-
    2
    3
    bn
    又b1=-（λ+18），所以
    当λ=-18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列：
    当λ≠-18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，
    ∴
    bn+1
    bn
    =-
    2
    3
    （n∈N+）．
    故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
    2
    3
    为公比的等比数列．
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．
    ∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）•（-
    2
    3
    ）n-1，于是可得
    Sn=-
    n
    i=1
    i4=
    1
    5
    n4+
    1
    2
    n4+
    1
    3
    n3-
    1
    30
    n    ，
    要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，
    即a＜-
    3
    5
    （λ+18）•[1-（-
    2
    3
    ）n]＜b（n∈N+）
    得
    a
    1-(-
    2
    3
    )    n
    ＜-
    3
    5
    (λ+18)＜
    b
    1-(-
    2
    3
    )    n

    令f(n)=1-(-
    2
    3
    )n，则    ①
    当n为正奇数时，1＜f（n）≤
    5
    3
    ；当n为正偶数时，
    5
    9
    ≤f(n)＜1    ，
    ∴f（n）的最大值为f（1）=
    5
    3
    ，f（n）的最小值为f（2）=
    5
    9
    ，．
    于是，由①式得
    5
    9
    a＜-
    3
    5
    （λ+18）＜
    3
    5
    b?-b-18＜λ＜-3a-18    ．
    当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
    当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）
    点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．
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    已知数列{an}和{bn}满足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
    		a1an+1
    (n∈N*)    ．且{bn}是以
    a为公比的等比数列．
    （Ⅰ）证明：aa+2=a1a2；
    （Ⅱ）若a3n-1+2a2，证明数例{cx}是等比数例；
    （Ⅲ）求和：
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +
    1
    a4
    +    …+
    1
    a2n-1
    +
    1
    a2n
    ．

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    已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
    2n
    3
    +
    4
    9
    ．
    （1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
    （2）当λ=-
    1
    2
    时，试判断{bn}是否为等比数列．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且数列{an+1-an}是等差数列，n∈N*，
    （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）问是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
    12
    ，3]    ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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    已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
    23
    an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ为实数，且λ≠-18，n为正整数．
    （Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
    （Ⅱ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•孝感模拟）已知数列{an}和{bn}满足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
    bn
    1-4 
    a
    2
    n
    ．
    （I）证明：数列{
    1
    an
    }是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
    1
    b2b3…bnbn+1 
    对任意正整数n都成立的最大实数k．

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