Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），不等式$\frac{a}{{{a^2}+1}}+\frac{c}{{{c^2}+1}}≤λ$恒成立，则λ的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 先根据二次函数的值域求出a，c的关系，结合基本不等式的性质从而求出λ的范围．

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ac=0}\end{array}\right.$，∴a＞0，a=$\frac{1}{c}$，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+1}$+$\frac{c}{{c}^{2}+1}$=$\frac{a}{{a}^{2}+1}$+$\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{{a}^{2}}+1}$=$\frac{2a}{{a}^{2}+1}$=$\frac{2}{a+\frac{1}{a}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{a•\frac{1}{a}}}$=1，
∴λ≥1，
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．