Question

12．若a∈[0，1]，b∈[0，1]，则函数y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2为增函数的概率为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 求出函数y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2为增函数时，a-3b≤0，结合a∈[0，1]，b∈[0，1]，求出相应的面积，即可得出结论．

解答 解：∵y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2，
∴y′=3x²+2$\sqrt{a}$x+b，
∵函数y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2为增函数，
∴y′=3x²+2$\sqrt{a}$x+b≥0恒成立，
∴△=4a-12b≤0，
∴a-3b≤0，
∵a∈[0，1]，b∈[0，1]，
∴区域面积为1，a-3b≤0时，区域面积为1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1=$\frac{5}{6}$，
∴函数y=x³+$\sqrt{a}{x^2}$+bx+2为增函数的概率为$\frac{5}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查几何概型，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．