Question

已知圆C经过点A（-3，0），B（3，0），且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+2与圆C交于P，Q两点
（1）求圆C的方程；
（2）过点（0，2）做直线a与L垂直，且直线a与圆C交于M，N俩点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（2）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，有d12+d2=4，根据垂径定理和勾股定理得到|PQ|，|MN|，表示出面积，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．

解答： 解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（-3，0），B（3，0），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+3)2+a2

=

(a-3)2+a2

=r，
解得a=0，r=3，…（2分）
所以圆C的方程是x²+y²=9；
（2）设圆心O到直线l，a的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，a都经过点（0，2），且l⊥a，根据勾股定理，有d12+d2=4，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2

9-d2

，|MN|=2

9-d12

，…（11分）
所以S=

1

2

×2

9-d2

×2

9-d12

=2

81-9(d12+d2)+d12d2

=2

45+d12d2

≤2

45+( d12+d2 2 )2

=14…（13分）
当且仅当d₁=d时，等号成立，所以S的最大值为14．…（14分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确表示四边形的面积，属于中档题．