Question

【题目】已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若过的动直线与曲线相交于两点.

(1)判断曲线的名称并写出它的标准方程；

(2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) 曲线的名称是椭圆，标准方程 (2)见解析

【解析】

（1）设动点的坐标，根据点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，可得所求轨迹方程．（2）由直线与轴垂直和直线与轴垂直两种特殊情况可得点的坐标只可能是，所以只需证明直线斜率存在且时均有即可，然后利用代数法求解即可．

（1）设动点的坐标，点到直线的距离为，

依题意可知，即，

所以，

两边平方后化简得．

所以曲线的名称是椭圆，它的标准方程为．

（2）①当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，

又因为，

则，

所以点必在轴上．

②当直线与轴垂直时，则，由①可设，

由，解得，或．

则点的坐标只可能是．

下面只需证明直线斜率存在且时均有即可．

由题意设直线的方程为，

由消去整理得,

其中恒成立．

设，

则，

所以．

设点关于轴对称的点坐标，

因为直线的斜率，

同理得直线斜率，

所以，

因此，

所以三点共线，

故，

所以存在点满足题意．