Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，而数列{b_n}的首项为1，b_n+1-b_n-2=0．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4；
（2）∵S_n=2a_n-2①，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）②，
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即an=2an-1(n≥2，n∈N*)，
∵a₁≠0，∴

an

an-1

=2，(n≥2，n∈N*)，即数列{a_n}是等比数列．
∵a₁=2，∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n．
由已知得b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，
又b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（3）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n③，
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1④，
③-④得：-Tn=1×2+(2×22+2×23+…2×2n)-(2n-1)2n+1．
即：-Tn=1×2+(23+24+…2n+1)-(2n-1)2n+1=2+

23(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)2n+1
∴Tn=(2n-3)2n+1+6．