Question

过O极点引直线交圆ρ²+r²-2rρcosθ-a²=0（r＞a＞0）于P，Q两点，在此直线上取一点R，使得

2

OR

=

1

OP

+

1

OQ

，求R点的轨迹的极坐标方程（r，a是常数）．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，设出直线的直角坐标方程，代入圆的方程，利用韦达定理及条件求得 x_R=

r2-a2

r

，再把它化为极坐标方程．

解答： 解：圆ρ²+r²-2rρcosθ-a²=0（r＞a＞0）化为直角坐标方程为 （x-r）²+y²=a²，
表示以（r，0）为圆心、半径等于a的圆．
设直线的直角坐标方程设为y=kx，代入圆的方程化简可得 （k²+1）x²-2rx+r²-a²=0，
利用韦达定理可得 x_P+x_Q=

2r

k2+1

，x_P•x_Q=

r2-a2

k2+1

．
再根据

2

OR

=

1

OP

+

1

OQ

，可得

2

xR

=

1

xP

+

1

xQ

=

xP+xQ

xP•xQ

=

2r

r2-a2

，
求得 x_R=

r2-a2

r

，再化为极坐标方程为 ρcosθ=

r2-a2

r

．

点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．