Question

某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，游客可以乘长为3km的索道AC上山，也可以沿山路BC上山，山路BC中间有一个距离山脚B为1km的休息点D．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2km，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰（即从B点出发到达C点）

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用外角性质求出∠DAB度数，再三角形ABD中，利用正弦定理求出|AD|的长，在三角形ADC中，利用余弦定理求出|DC|的长，进而求出|BC|的长，即可做出判断．

解答： 解：由∠ADC=150°，∠ABC=120°，利用外角性质得：∠DAB=30°，
在△ABD中，|BD|=1，∠DAB=30°，∠ABC=120°，
由正弦定理得：

1

sin30°

=

|AD|

sin120°

，
解得：|AD|=

3

，
在△ADC中，由余弦定理得：|AC|²=|AD|²+|DC|²-2|AD|•|DC|cos150°，即9=3+|DC|²+3|DC|，
解得：|DC|=

-3+ 33

2

（km），
∴|BC|=1+

-3+ 33

2

=

-1+ 33

2

（km），
∵

5.8

2

=

33.64

2

＞

33

2

，
∴2.4＞

-1+ 33

2

，
则两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形外角性质，熟练掌握定理是解本题的关键．