Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（1）当cosC=0时，不恒成立，当cosC≠0时，应有

cosC＞0 △=16sin2C-24cosC≤0

，解不等式结合三角形内角的范围可得；
（2）可得∠C的最大值为

π

3

，代入数据由基本不等式可得．

解答： 解：（1）当cosC=0时，sinC=1，
原不等式即为4x+6≥0，显然对一切实数x不恒成立，
当cosC≠0时，应有

cosC＞0 △=16sin2C-24cosC≤0

化简可得

cosC＞0 2cos2C+3cosC-2≥0

，
解得cosC≥

1

2

，或cosC≤-2（舍去），
∵C是△ABC的内角，∴

1

2

≤cosC＜1；
（2）∵0＜C＜π，

1

2

≤cosC＜1
∴∠C的最大值为

π

3

，此时c=

a2+b2-2abcos π 3

=

a2+b2-ab

，
∴6=a+b+c=a+b+

a2+b2-ab

≥2

ab

+

2ab-ab

=3

ab

，
∴ab≤4（当且仅当a=b时取“=”），
∴S_△ABC=

1

2

absin

π

3

≤

3

（当且仅当a=b时取“=”），
∴△ABC面积的最大值为

3

，△ABC为等边三角形．

点评：本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数的最值和基本不等式，属中档题．