Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（1）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（2）证明S_n＜2（n+1）．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n+S_n=3+3+2（n-1）=2n+4，由此推导出2（a_n-2）=a_n-1-2，从而能够证明{a_n-2}是首项为a₁-2=1，公比为

1

2

的等比数列．
（2）由（1）知a_n-2=

1

2n-1

，所以an=

1

2n-1

+2，由此能够证明S_n＜2（n+1）．

解答： 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，
数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n+S_n=3+3+2（n-1）=2n+4，
当n≥2时，由a_n+S_n=2n+4，得
a_n-1+S_n-1=2n+2，
两式相减得a_n-a_n-1+a_n=2
∴2（a_n-2）=a_n-1-2
∴{a_n-2}是首项为a₁-2=1，公比为

1

2

的等比数列．
（2）由（1）知a_n-2=

1

2n-1

，∴an=

1

2n-1

+2，
∴Sn=

1- 1 2n

1- 1 2

+2n=2-

2

2n

+2n
=2（n+1）-

2

2n

，
∴S_n＜2（n+1）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等比数列性质的合理运用．