Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n+2，若将数列{a_n}的项重新组合，得到新数列{b_n}，具体方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此类推，第n项b_n由相应的{a_n}中2^n-1项的和组成．
（1）求数列{b_n-

1

4

•2ⁿ}的前n项和T_n；
（2）设数列{c_n}的通项公式c_n=

bn-3×2n-2  +24

2n-3

，求数列{c_n}的最小项．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得bn=a2n-1+aan-1+1+…+a2n-1+2n-1-1，由此求出b_n-

1

4

•2ⁿ=2^2n-2+2^2n-3+2^n-1=

3

8

•4n+

1

2

•2n，从而能求出数列{b_n-

1

4

•2ⁿ}的前n项和T_n．
（2）c_n=

bn-3×2n-2  +24

2n-3

=

3 8 •4n- 1 4 •2n+24

1 8 •2n

=3•2ⁿ+

192

2n

-2，利用均值定理能求出数列{c_n}的最小项是第3项．

解答： 解：（1）由题意得bn=a2n-1+aan-1+1+…+a2n-1+2n-1-1
=（2^n-1+2）+（2^n-1+3）+…+（2^n-1+2^n-1+1）
=2^n-1•2^n-1+（2+3+…+2^n-1+1）
=2^2n-2+

2n-1

2

(2n-1+3)
=2^2n-2+2^n-2（2^n-1+3）．
∴b_n-

1

4

•2ⁿ=2^2n-2+2^2n-3+2^n-1=

3

8

•4n+

1

2

•2n．
∴Tn=

3

8

•

4(1-4n)

1-4

+

1

2

•

2(1-2n)

1-2

=

1

2

(4n-1)+2n-1
=22n-1+2n-

3

2

．
（2）c_n=

bn-3×2n-2  +24

2n-3

=

3 8 •4n- 1 4 •2n+24

1 8 •2n

=

3•4n-2•2n+192

2n

=3•2ⁿ+

192

2n

-2
≥2

3•2n× 192 2n

-2
=50．
当且仅当2ⁿ=8即n=3时，取等号．
∴数列{c_n}的最小项是第3项．

点评：本题考查数列的数列的前n项和的求法，考查数一铁最小项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．