Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-DF-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AC．通过证明EF∥PC，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AD中点O，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面EFD的一个法向量是

n

，利用|cos＜

OP

，

n

＞|=

| OP • n |

| OP |•| n |

求解二面角E-DF-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，连结AC．
因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．
又因为F是BD中点，所以F是AC中点．
在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，
所以EF∥PC，又因为EF?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）取AD中点O，在△PAD中，因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，因为OF?平面ABCD，所以PO⊥OF．
又因为F是AC中点，所以OF⊥AD．
如图，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
因为PA=PD=AD=2，所以OP=

3

，则有O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P(0，0，

3

)，E(

1

2

，0，

3

2

)，F（0，1，0）
于是

AB

=(0，2，0)，

DE

=(

3

2

，0，

3

2

)，

DF

=(1，1，0)．
显然

OP

=(0，0，

3

)是平面FAD的一个法向量．
设平面EFD的一个法向量是

n

=（x，y，z）．
故

n • DE =0 n • DF =0

即

x+y=0 3 2 x+ 3 2 z=0，

令x=1则

n

=(1，-1，-

3

)．
所以|cos＜

OP

，

n

＞|=

| OP • n |

| OP |•| n |

=

|-3|

3 • 5

=

15

5

．
由图可知，二面角E-DF-A为锐角，所以其余弦值为

15

5

…（12分）

点评：本题考查空间向量求解二面角的大小，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．