Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）若将函数的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间[0，

π

2

）上的最大值和最小值，并求出相应的x的取值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式求出周期T，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的区间．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=f（x-

π

3

）=2sin（2x-

π

3

）．结合x∈[0，

π

2

），利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=2sin（2x+

π

3

），所以T=

2π

2

=π．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
所以函数f（x）在区间[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z单调递减．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）的图象，
所以 g（x）=f（x-

π

3

）=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=2sin（2x-

π

3

）．
因为x∈[0，

π

2

），所以 2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

），
当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，g（x）取得最大值2，
当2x-

π

3

=-

π

3

时，即x=0时，g（x）取得最小值-

3

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、周期性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．