Question

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，任意的0＜a＜b，证明：

f(b)-f(a)

lnb-lna

≤1-a．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R，定义域为（0，+∞）．f′(x)=

1-mx

x

（x＞0）．对m分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出．
（II）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≤0不恒成立；当m＞0时，fmax(x)=f(

1

m

)=-lnm-1+m，要使f（x）≤0恒成立，即-lnm-1+m≤0．令h（m）=-lnm-1+m，
利用导数研究其单调性极值与最值即可．
（III）0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），

f(b)-f(a)

lnb-lna

=

lnt-a(t-1)

lnt

=1-

a(t-1)

lnt

，再利用（II）的结论t＞1时，lnt＜t-1．即可证明．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R，定义域为（0，+∞）．
f′(x)=

1-mx

x

（x＞0）．
当m≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当m＞0时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

m

，令f′（x）＜0，可得x＞

1

m

，
∴函数f（x）在(0，

1

m

)上为增函数，在(

1

m

，+∞)上为减函数．
（2）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≤0不恒成立；
当m＞0时，fmax(x)=f(

1

m

)=-lnm-1+m，
要使f（x）≤0恒成立，即-lnm-1+m≤0．
令h（m）=-lnm-1+m，h′(m)=

m-1

m

，
可得m∈（0，1）时，h（m）为减函数，m∈（1，+∞）时，h（m）为增函数，
∴h_min（m）=h（1）=0，
∴m=1．
∴m的取值范围是{1}．
（3）证明：∵0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），

f(b)-f(a)

lnb-lna

=

lnt-a(t-1)

lnt

=1-

a(t-1)

lnt

，
由（2）知f（x）=lnx-x+1≤0，可得lnt≤t-1，

t-1

lnt

≥1，得

-a(t-1)

lnt

≤-a，
∴

f(b)-f(a)

lnb-lna

≤1-a．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，考查了利用已经证明的结论解决新问题的能力，属于难题．