Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD； 
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=AB=2，点M满足

PC

=3

PM

，求四棱锥M-BCDQ的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题

分析：（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AD⊥平面PQB，再由面面垂直的判断定理证明出平面PQB⊥平面PAD；
（2）根据面面垂直的性质定理的条件得：PQ⊥平面ABCD，再由条件求出PQ、S_{四边形BCDQ}和点M到平面BCDQ的距离，代入三棱锥的体积公式求出四棱锥M-BCDQ的体积．

解答： （1）证明：由条件得，

PQ⊥AD BQ⊥AD PQ∩BQ=Q

⇒AD⊥平面PQB，
又AD?平面PAD，
所以平面PQB⊥平面PAD…（6分）
（2）解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，
∵PA=AB=2，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD，
∴PQ=

3

，S_{四边形BCDQ}=

1

2

×(1+2)×

3

=

3 3

2

，
由

PC

=3

PM

得，点M到平面BCDQ的距离是

2

3

PQ，
∴VM-BCDQ=

1

3

S四边形BCDQ•

2

3

PQ=1…（12分）

点评：本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，以及三棱锥的体积公式的应用．