Question

若直线l：y=x与圆心在第二象限的⊙C相切于原点，且⊙C的半径为2

2

．
（1）求⊙C的方程；
（2）试问⊙C上是否存在异于原点的点Q，使得点Q到点F（4，0）的距离为4，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设出圆C的圆心坐标，因为半径为2

2

，写出圆C的方程，然后因为圆与直线相切得到直线OC与y=x的斜率乘积为-1得到a与b的关系式，两者联立求解，由圆心C在第二象限得即可求出圆心坐标得到圆的方程；
（2）以点F（4，0）为圆心，4为半径的圆的方程（x-4）²+y²=16，两方程相减可得y=3x，代入（x-4）²+y²=16，可得结论．

解答： 解：（1）设圆C的圆心为C（a，b），则圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=8
∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，∴点O在圆C上，且直线OC垂直于直线y=x
于是有a²+b²=8，

b

a

=-1，
解得a=2，b=-2或a=-2，b=2，
由圆心C在第二象限得a=-2，b=2，
∴圆C的方程为（x+2）²+（y-2）²=8．
（2）以点F（4，0）为圆心，4为半径的圆的方程（x-4）²+y²=16，
两方程相减可得y=3x，
代入（x-4）²+y²=16，可得（x-4）²+9x²=16，
∴x=0或x=0.8，
∴y=2.4，
∴Q（0.8，2.4）．

点评：考查学生灵活运用两直线垂直时斜率乘积为-1的条件解决问题的能力，会根据条件写出直线的方程及会根据条件写出圆的标准方程．