Question

已知椭圆

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）与双曲线

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0）有公共焦点F₁、F₂，设P是它们的一个交点
（1）试用b₁、b₂表示△F₁PF₂的面积；
（2）当b₁+b₂=m（m＞0）是常数时，求△F₁PF₂的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设∠F₁PF₂=θ，当PF₁+PF₂=2a₁时，S△F1PF2=b₁²•

sinθ

1+cosθ

，当PF₁-PF₂=2a²时，S△F1PF2 =

b22sinθ

1-cosθ

，由此能求出S△F1PF2=b1b2．
（2）当b₁+b₂=m时，有m=b₁+b₂≥2

b1b2

，由此能求出面积的最大值是

m2

4

．

解答： 解：（1）设∠F₁PF₂=θ，当PF₁+PF₂=2a₁时，
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cosθ，
即2PF₁•PF₂cosθ=（PF₁+PF₂）²-2PF₁•PF₂-4c²=4a₁²-2PF₁•PF₂-4c²，
∴PF₁•PF₂=

2b12

1+cosθ

，
∴S△F1PF2=

1

2

×PF₁•PF₂sinθ=b₁²•

sinθ

1+cosθ

，
当PF₁-PF₂=2a²时，
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cosθ，
即2PF₁•PF₂cosθ=（PF₁-PF₂）²+2PF₁•PF₂-4c²=4a₂²+2PF₁•PF₂-4c²，
∴PF₁•PF₂=

2b22

1-cosθ

，
∴S△F1PF2 =

1

2

×PF₁•PF₂sinθ=

b22sinθ

1-cosθ

，
（S△F1PF2）²=

b12sinθ

1+cosθ

×

b22sinθ

1-cosθ

=b12•b22，
∴S△F1PF2=b1b2．
（2）当b₁+b₂=m时，有m=b₁+b₂≥2

b1b2

，
即有b1b2≤

m2

4

，△F₁PF的面积S△F1PF2 ≤

m2

4

．
即面积的最大值是

m2

4

．

点评：本题考查三角形面积的表示和面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意双曲线和椭圆的简单性质的灵活运用．