Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l₁、l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁、l₂于A、B两点，已知|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差数列，且

BF

与

FA

反向．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线AB被双曲线截得的弦长为

8

3

，求双曲线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF=α，则由题意知tanα=

b

a

，△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α=

AB

OA

，由此推导出-tan2α=-

2tanα

1-tan2α

=

AB

OA

=

m

3 4 m

=

4

3

，从而能求出离心率．
（2）由（1）设双曲线方程为：

x2

4m2

-

y2

m2

=1，直线AB的方程为：y=2x-2

5

m，由

x2 4m2 - y2 m2 =1 y=2x-2 5 m

，得：15x²-32

5

mx+84m²=0，由此利用弦长公式能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）如图，设实轴长为2a，虚轴长为2b，
令∠AOF=α，则由题意知tanα=

b

a

，
△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α=

AB

OA

，
∵|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差数列，
∴设|

OA

|=m-d、|

AB

|=m、|

OB

|=m+d，
∵OA⊥BF，∴（m-d）²+m²=（m+d）²，
整理，得d=

1

4

m，
∴-tan2α=-

2tanα

1-tan2α

=

AB

OA

=

m

3 4 m

=

4

3

，
解得

b

a

=2或

b

a

=-

1

2

（舍），
∴b=2a，c=

4a2+a2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
（2）由（1）设双曲线方程为：

x2

4m2

-

y2

m2

=1，
∵直线AB垂直于l₁，故直线AB的方程为：y=2x-2

5

m，
由

x2 4m2 - y2 m2 =1 y=2x-2 5 m

，得：15x²-32

5

mx+84m²=0，
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则x1+x2=

32 5 m

15

，x₁x₂=

84m

15

，
∵直线AB被双曲线截得的弦长为

8

3

，
∴

(1+4)[( 32 5 m 15 )2-4× 84m 15 ]

=

8

3

，解得m=2，
∴双曲线方程为

x2

16

-

y2

4

=1．

点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的灵活运用．