Question

双曲线C₁的中心在原点，焦点在x轴上，且过点A（

5

，

3

），双曲线C₂中心在原点，焦点在y轴上，且过点B（

10

，

7

）．C₁的实轴长等于C₂虚轴长，C₁的虚轴长等于C₂实轴长，求双曲线C₁、C₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设C₁：

x2

a1

-

y2

b1

=1，C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，由题意设a₁=b₂=a，a₂=b₁=b，则

5

a

-

3

b

=1，且

7

b

-

10

a

=1，由此能求出双曲线C₁和C₂的方程．

解答： 解：设C₁：

x2

a1

-

y2

b1

=1，C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
由题意设a₁=b₂=a，a₂=b₁=b，
∵双曲线C₁的中心在原点，焦点在x轴上，且过点A（

5

，

3

），
∴

5

a

-

3

b

=1，①
∵双曲线C₂中心在原点，焦点在y轴上，且过点B（

10

，

7

），
∴

7

b

-

10

a

=1，②
由①②解得a=

1

2

，b=

1

3

．
∴双曲线C₁：2x²-3y²=1，双曲线C₂：3y²-2x²=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．