Question

已知函数f（x）=asin（ωx+θ）的部分图象如下图，其中ω＞0，|θ|＜

π

2

，a是△ABC的角A所对的边．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若△ABC中角B所对的边b=1，cosC=f（

C

2

），求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角形的面积公式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，把特殊点的坐标代入函数的解析式，求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由cosC=f（

C

2

），求得cosC=

1

2

sinC，再利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，可得△ABC的面积S=

1

2

ab•sinC的值．

解答： 解：（1）因为a＞0，由图象可知f(x)max=a=

2

，
函数f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=2(

7π

8

-

3π

8

)=π，解得ω=2．
由f(

3π

8

)=

2

sin(2×

3π

8

+θ)=

2

，得sin(

3π

4

+θ)=1，…（4分）
因为|θ|＜

π

2

，

π

4

＜

3π

4

+θ＜

5π

4

，∴

3π

4

+θ=

π

2

，θ=-

π

4

，
故f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)．
（2）由cosC=f(

C

2

)得，cosC=

2

sin(C-

π

4

)=sinC-cosC，即cosC=

1

2

sinC．
又sin²C+cos²C=1，得sin2C=

4

5

，sinC=±

2 5

5

．
由0＜C＜π得，sinC=

2 5

5

，故△ABC的面积S=

1

2

absinC=

10

5

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．