Question

已知函数f（x）=x³-x在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，根据函数的单调性建立不等关系即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x³-x，
∴f′（x）=3x²-1，
∵函数f（x）=x³-x在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
∴当x=a时，函数f（x）取得极小值，
由f′（x）=3x²-1＞0，解得x＞

3

3

或x＜-

3

3

，此时函数单调递增，
由f′（x）=3x²-1＜0，解得-

3

3

＜x＜

3

3

，此时函数单调递减，
即x=

3

3

时，函数f（x）取得极小值，
即a=

3

3

．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查导数的应用，根据条件求出对应的极值是解决本题的关键．